هندسه فراغيه

هندسة فراغية
* المستقيمات والمستويات

ملحوظة : المستوى يقسم الفراغ إلى ثلاث مجموعات من النقط
مجموعة النقط الواقعة على احد جانبي المستوى = أ1
مجموعة النقط الواقعة على الجانب الآخر للمستوى = أ2
مجموعة النقط الواقعة على المستوى = أ3
* حالات تعيين المستوى في الفراغ
1- ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة .
2- مستقيمين متقاطعين
3- مستقيمين متوازيين .
4- مستقيم ونقطة خارجة عنه .
ملحوظة : إذا اشترك مستويان في ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة فانهما ينطبقا

* الأوضاع النسبية للمستويات والمستقيمات
تعريف :
الزاوية بين مستقيمين متخالفين هي الزاوية
التي يصنعها احدهما مع مستقيم مرسوم من نقطة
عليه موازياً للمستقيم الآخر .
في الشكل ل1 ، ل2 مستقيمان متخالفان
امثلة :
(1)أكمل
1-عدد المستويات التي تمر بنقطة معلومة هي .........
2-عدد المستويات التي تمر بنقطتين معلومتين هي .......
3-عدد المستويات التي تمر بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة هي ....
4- يتقاطع المستويان في .......
5- يتقاطع المستقيمان في .......
6- يتقاطع مستقيم مع مستوى في .......
7- إذا اشترك مستقيم ومستوي في نقطتين مختلفتين فان.......
8- إذا كان المستقيم // المستوى فان = ......
9- اذا كان المستقيم المستوى فان = ......
الحل:
1- لا نهائي
2- لا نهائي
3- واحد فقط
4- مستقيم
5- نقطة
6- نقطة
7- المستقيم يقع في المستوى
8-
9- ل
(2) ضع علامة( v) أمام الإجابة الصحيحة وعلامة ( X ) أمام الاجابة الخطأ .
1- يتقاطع المستويان في نقطة .
( x )
2- إذا كان المستقيم المستوي حيث أ نقطة ما فإن
( x )
3- إذا كان المستقيم المستوى فإن //. س
( v)
4- يتقاطع المستقيمان في نقطة .
( v)
5- إذا كان المستقيم المستوى س فإن .
( x )
6- إذا كان المستقيم // المستوى س فإن حيث أ نقطة ما .
( x )
توازي مستقيمين
يتوازى المستقيمان ل1 ، ل2 إذا وفقط إذا كان :
1-يجمعهم مستوى واحد .

* بعض المجسمات الشهيرة
أولاً المنشور :
تعريف :- المنشور هو المجسم الناتج
من انتقال سطح مضلع موازياً لنفسه
في اتجـاه ثابت ويسمى سطح المضلع في كل من
وضعه الأول ووضعه الاخير قاعدة المنشور .

في الشكل : منشور ثلاثي
قاعدتاه وإذا كان اتجاه
الانتقال عمودي على سطح المضلع يسمى منشور قائم
وإذا كان الانتقال مائلاً على سطح المضلع يسمى منشور مائل ويسمى المنشور حسب شكل القاعدة إذا كانت القاعدة مثلث يسمى منشور ثلاثي وإذا كانت القاعدة شكل رباعي يسمى منشور رباعي ،...
خواص المنشور :-
1-القاعدتان متوازيتان متطابقتان .
2-إذا كان المنشور :
( أ ) قائم : فإن الاوجه الجانبية مستطيلات .
( ب ) مائل : فإن الاوجه الجانبية متوازيات اضلاع .
3-الأحرف الجانبية متساوية في الطول ومتوازية .
حالات خاصة للمنشور :
1- متوازي السطوح
هو منشور مائل كل من
قاعدتيه متوازي أضلاع
متوازي السطوح مكون من 6 أوجه
كل منها متوازي أضلاع ،وكل وجهين
متقابلين متوازيين ومتطابقين .
قطر متوازي السطوح :
هو القطعة المستقيمة التي تصل بين رأسين لا يجمعهما مستوى واحد .
في الشكل المرسوم : الأقطار هي
1- متوازي المستطيلات
هو منشور قائم كل من قاعدتيه مستطيل
متوازي المستطيلات مكون من 6 أوجه كل منها مستطيل وكل وجهين متقابلين متوازيين ومتطابقين .
ملحوظة :
إذا كانت ابعاد متوازي المستطيلات هي س ، ص ، ع
3- المكعب
هو متوازي مستطيلات جميع اطوال أحرفه متساوية في الطول .
جميع أوجهه مربعات متطابقة وكل وجهين متقابلين متوازيين .
ملحوظة :إذا كان طول حرف المكعب = ل
طول قطره =
الهرم القائم :
هو هرم قاعدته مضلع منتظم ( مثلث متساوي الأضلاع - مربع - خماسي منتظم - ………… ) مركز هذا المضلع المنتظم هو موقع العمود الساقط من رأس الهرم على قاعدته.
الحل:
1-
2-
3-
4- س ، ص
5- ص
6-
7-
8- أ َ بَ حـَ
9- س ، ص ،
مثال(3)

س ص م ل متوازي أضلاع .
* توازي مستقيم ومستو
نظرية 1 : -
إذا وازي مستقيم مستوياً فإنه يوازي جميع المستقيمات التي تنشأ عن تقاطع هذا المستوي مع المستويات التي تحتوي ذلك المستقيم .
المعطيات :
البرهان :
حقيقة :
إذا وازي مستقيم خارج مستوى مستقيماً في المستوى فإنه يوازي ذلك المستوى .
نتائج
مثال 1:
اثبت أن :
1) ∆ م ن ك ~ ∆ ص ع ل
2) إذا كانت مساحة سطح ∆ م ن ك = 25 سم2
أوجد مساحة سطح ∆ ص ع ل
الحل :
المستوي م ن ك يوازي المستوى ص ع ل ، المستوى
س ص ع قاطع لهما

بالمثل المستوى س ع ل قاطع لهما
بالمثل المستوى س ص ل قاطع لهما
من 1 ، 2 ، 3
∆ م ن ك ~ ∆ ص ع ل
مـ ( ع ص ل ) = 25 16 = 400 سـم2
مثال 2:

الحل
تمرين مشهور
( إذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينها تكون متناسبة ) .
المعطيات :
المستويات س ، ص ، ع

، ل1 ، ل2 قاطعان لهما في أ ، ب ، حـ ،
أ َ, ب ،َ حـَ على الترتيب .
المطلوب :
أثبات أن :
العمل :
نصل أ جـ فيقطع المستوى ص في د .
البرهان :
،
المستوى أجـ حـ/ قاطع لهما
ب د حـ حـَ
----- < 1
س ص ، المستوى أأ َحـ قاطع لهما
د بَ أ أ َ
------- < 2
من 1 ، 2

نظرية 2 : ( بدون برهان )
( إذا تقاطع مستقيمان في مستوى وكانا موازيين لمستقيمين متقاطعين في مستوى آخر، كان مستو المستقيمين الأولين موازياً لمستو المستقيمين الأخريين )
في الشكل
مثال1 : -
م أ ب حـ هرم ثلاثي ، أخذت النقط د ، هـ ، و على الأحرف ، ، على الترتيب بحيث :
وإذا أخذنا نقطة ك ' ورسمنا فقطعت في ن فأثبت أن ،
وإذا كان أ ك = 15 سـم
أوجد طول .
الحل :
-----< 1

----- < 2
من 1 ، 2
المستوى د هـ و المستوى أ ب حـ
المستوى م أ ك قاطع لهما
أ ك
مثال 2 :
أ ب حـ ، أ ب د مثلثان في مستويين مختلفين ، ل ، م ، ن ، هـ منتصفات ، ، , على الترتيب .
أثبت أن :
1- الشكل ل م ن هـ متوازي أضلاع .
2- أ ب المستوى ل م ن هـ .

ل منتصف ،
م منتصف
من (1 ), (2)

، هـ ن = ل م
الشكل ل م ن هـ متوازي أضلاع
، ل م ، واقعان في المستوى ل م ن هـ
، أ ب موازياً لكل منهما
أ ب المستوى ل م ن هـ .
* المستقيم العمودي على مستوي
تعريف : إذا كان مستقيم عمودياً على كل مستقيم في مستوي قيل أن المستقيم عمودي على المستوي أو المستوى عمودى على المستقيم .

نظرية3 ( بدون برهان )
( المستقيم العمودي على كل من مستقيمين متقاطعين
من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما)
في الشكل :
ل1 ، ل2 É س

م ل1 ، م ل2 من نقطة تقاطعهما
م المستوى س

نتائج :
1- إذا كان مستقيم على كل من مستقيمين مستويين معاً وغير متوازيين فإنه يكون عمودياً على مستويهما .

2- جميع الاعمدة المرسومة على مستقيم من نقطة عليه تقع في مستوى واحد ، هذا المستوى عمودي على هذا المستقيم .
3- يوجد مستوى واحد وواحد فقط عمودي على مستقيم ل من نقطة عليه .

4- المستقيمان العموديان على مستوى واحد متوازيان .
5-إذا كان مستقيم على كل من مستويين فإنهما يكونان متوازيين .

مثال1 :
أب حـ د مستطيل ، م نقطة لاتنتمي إلى مستوى المستطيل بحيث .
أثبت أن :
1) المستوى أ م د .
2) يوجد مستقيم آخر المستوى أ م د .
الحل :
1- ( معطى )
أ ب حـ د مستطيل
أ د

أ ب أ م ، أ د
أ ب المستوى أ م د .

2- أ ب
، أ ب المستوى أ م د
المستوى أ م د .
مثال2 :
أ ب قطر في دائرة ، طول نصف قطرها 5 سـم ، رسم مستوى الدائرة ،
حـ ' الدائرة بحيث أ حـ = 6 سـم ، حـ د = 15 سـم .
أثبت أن :
ب جـ جـ د . أوجد طول ب د

* الإسقاط العمودي
تعريف : المسقط العمودي لنقطة معلومة على مستوى معلوم هو موقع القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة المعلومة على المستوى .
في الشكل :-
أ س ، س
أ َ هي مسقط أ على س
وإذا كانت " ب " ' س فإن مسقط " ب " على المستوى س هو النقطة " ب " نفسها .

في الشكل : -
س ، س
* الزاوية بين مستقيم ومستو
هي الزاوية بين القطعة المستقيمة المحمولة على نفس المستقيم ومسقطها على المستوى
في الشكل
نظرية4
( إذا رسم مستقيم مائل على مستوى وكان عمودياً على مستقيم في المستوى فإن مسقط المستقيم المائل على المستوى يكون عمودياً على هذا المستقيم )
المعطيات :
، مسقط جـ د على المستوى س
المطلوب :
أ ب
عكس نظرية4
( إذا رسم مستقيم مائل على مستوى وكان مسقطه على المستوي عمودياً
على مستقيم فيه كان هذا المستقيم المائل عمودياً على ذلك المستقيم )
المعطيات :
البرهان :
المستوى س
أ ب
أ ب كل من ،
أ ب المستوى حـ د هـ
أ ب جـ د
مثال1 :
الحل :
مثال2 :
الحل :


* الزاوية الزوجية
تعريفها : إذا كان لنصفي مستويين حد مشترك فإن اتحاد نصفي المستويين مع ذلك الحد يسمي زاوية زوجية .
في الشكل :
س ، ص نصفا مستويين يشتركان في

* الزاوية المستوية للزاوية الزوجية
تعريفها :هي الزاوية الناشئة من تقاطع الزاوية الزوجية مع أي مستوى عمودي على حافتها
في الشكل
المستوى د هـ و أ ب
د هـ و هي الزاوية المستوية
للزاوية الزوجية .
ملحوظة :
جميع الزوايا المستوية لزاوية زوجية تكون متساوية في القياس .

* المستويات المتعامدة
يقال أن مستويين متعامدين إذا كان قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية = 90ْ .
نظرية5
( إذا كان مستقيم على مستوى ، فكل مستوى يحوي هذا المستقيم يكون عمودياً على ذلك المستوى )
المعطيات :
المطلوب :
س ص

العمل :
نرسم أ ب
البرهان :
جـ د س
جـ د أ ب
، أ ب د حـ هـ هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية-----< 1
ق ( د هـ ) = 90ْ ----- < 2
من 1 ، 2
س ص
نظرية6 ( بدون برهان )
(إذا تعامد مستويان ورسم في أحدهما مستقيم عمودي على خط التقاطع كان هذا المستقيم عمودياً على المستوى الآخر(
في الشكل :
حقيقة هندسية :
( إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوى ثالث ، كان خط تقاطعهما عموديا
على المستوى الثالث )
في الشكل :
س ، ص
،


مثال1
أ ب حـ فيه ق ( ) = 30ْ ، أ ب = 12 سـم ، رسم ب د المستوى أ ب حـ
بحيث ب د = 6 سـم ،
رسم ويقطعه في ن .
1) أثبت أن : .
أوجد ق ( ب - - د).
الحل :

مثال2 :
أ ب حـ د مربع ، مستوى المربع .
1-أثبت أن المستويين م أ ب ، م أ د متعامدان .
2-إذا كان أم = أ د .أوجد قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية
بين المستويين م حـ د ، أ ب حـ د .
مستوى المربع
،
المستوى أ م د
المستوى م أ ب
المستوى م أب المستوى م أ د ( أولاً )
المستويان م حـ د ، أ ب حـ د متقاطعان في -----< 1
مسقط على المستوى أ ب حـ د
----- < 2
أ د م هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية بين المستويين م حـ د
، أ ب حـ د
في م أ د ظـا ( أ م ) = 1
ق (أ م ) = 45 ْ .

* المستويات المتعامدة
يقال أن مستويين متعامدين إذا كان قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية = 90ْ .
نظرية5
( إذا كان مستقيم على مستوى ، فكل مستوى يحوي هذا المستقيم يكون عمودياً على ذلك المستوى )
المعطيات :
المطلوب :
س ص

العمل :
نرسم أ ب
البرهان :
جـ د س
جـ د أ ب
، أ ب د حـ هـ هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية-----< 1
ق ( د هـ ) = 90ْ ----- < 2
من 1 ، 2
س ص
نظرية6 ( بدون برهان )
(إذا تعامد مستويان ورسم في أحدهما مستقيم عمودي على خط التقاطع كان هذا المستقيم عمودياً على المستوى الآخر(
في الشكل :
حقيقة هندسية :
( إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوى ثالث ، كان خط تقاطعهما عموديا
على المستوى الثالث )
في الشكل :
س ، ص
،


مثال1
أ ب حـ فيه ق ( ) = 30ْ ، أ ب = 12 سـم ، رسم ب د المستوى أ ب حـ
بحيث ب د = 6 سـم ،
رسم ويقطعه في ن .
1) أثبت أن : .
أوجد ق ( ب - - د).
الحل :

مثال2 :
أ ب حـ د مربع ، مستوى المربع .
1-أثبت أن المستويين م أ ب ، م أ د متعامدان .
2-إذا كان أم = أ د .أوجد قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية
بين المستويين م حـ د ، أ ب حـ د .
مستوى المربع
،
المستوى أ م د
المستوى م أ ب
المستوى م أب المستوى م أ د ( أولاً )
المستويان م حـ د ، أ ب حـ د متقاطعان في -----< 1
مسقط على المستوى أ ب حـ د
----- < 2
أ د م هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية بين المستويين م حـ د
، أ ب حـ د
في م أ د ظـا ( أ م ) = 1
ق (أ م ) = 45 ْ .