رابع ابتدائى فصل ثلن

Amin_soker@yahoo.com
0106772267الوحدة الثالثة
قواعد عامة للسير فى هذه الدرس
1- يجب ان تكون دراستها فى كراسة رسم بيانى
2- استخدام ورق شفاف لتوصيل معنى التطابق
3- التركيز على معنى علامة التساوى" = " وعلامة التطابق" "
4- - في بعض التمارين يستخدم الكتاب المدرسى مباشرة
مكونات الوحدة :
1- التطابق 2- التماثل 3- المستوى الاحداثى ( الديكارتى )
4- انماط هندسية 5- الانشطة
مقدمة :
يولد الإنسان وهو يرتبط بالهندسة فالهندسة هي لغة الجمال – لغة الدقة – لغة الإتقان . يولد الطفل أول ما تراه أن ملامحه مشابهه لوالده ( التشابه ) بل تقول إنها تكاد تكون مطابقة ( التطابق ) ثم تنظر إليه والي حسن خلقة فيبدأ الإحساس ( بالتماثل ) من حسن الشكل
أيهم أجمل المربع أم المستطيل أم شبه المنحرف ( كلما زاد محاور التماثل زاد الجمال )
قل سبحان الله .

- ثم بدأ المؤلف المدخل بنصفي تفاحة ص 53 وهنا أحسن المقدمة حيث ترى في الرسم التطابق ، التماثل ، التشابة وهم موضوع دراستنا

- ثم دخل بنمط آخر شيق وهو شكل هرمي للمكعبات الظاهرة أمامك هى بترتيب الصفوف من أعلى إلى أسفل 1 - 3 - 5 -7 - 9 اما العدد الأصلي لكل صف هو1-4-9-16 – 25 وهنا يمكن نطلب منك النمط النهائي " جمع كل على سابقه" أو " مربعات الأعداد "
- كم من المكعبات مطلوب لرفع الهرم صف آخر بنفس النمط .............. 36

( 1)
Amin_soker@yahoo.com
0106772267
تعالى معى نبدأ الوحدة :
صــ 54 التطابق : كيف تتحقق من تطابق شكلين عمليا




إستخدم الورق الشفاف واجعله واجب منزلي
لاحظ ان التطابق بين المضلعين بصفة عامة يتم اذا توافر الشرطان معا
1- الاضلاع المتناظرة متساوية 2- الزوايا المتناظرة متساوية
كل منهما شرط لازم وليس كافى
لاحظ ايضا اب = س ص بينما اب س ص ماذا تفهم ؟
لاحظ ايضا ق < أ = ق < س بينما < أ < س ماذا تفهم ؟
صــ 55 تدريب 2:
يختص بشرط تطابق مربعان اذا كان طول "ضلع احدهما يساوى طول ضلع الاخر"

مثل ( بلاط الارض مطابق لنفسه )



تدريب 3 : يختص بتطابق مستطيلان بعد الشرح على الرسم مع الطلبة نصل الى
يتطابق مستطيلان اذا كان طول احدهما يساوى طول الاخر وعرض احدهما يساوى عرض الاخر بمعنى اخر اذا تساوى بعداهما
مثل ( ضلفتى دولاب الملابس ) أو المستطيلان بالأسفل


أسئلة 1- يتطابق المضلعان إذا تساوت ............................. ، ............................................
خطأ
صح 2 – يتطابق المربعان إذا تساويا ضلعان فيهما
خطأ
صح 3 – يتطابق المستطيل الذي بعداه 3 ، 5 مع مستطيل آخر بعداه 5 ، 3

(2)
صح
خطأ 4 – يتطابق المربعان إذا تساوت مساحتيهما لأن .......................................
Amin_soker@yahoo.com
0106772267
صــ 56 هل يكفى تساوى الاضلاع المتناظرة لشكلين لكى يكونا متطابقين ؟ الاجابة :
لا يكفى "لتساوى الاضلاع المتناظرة لشكلين لكى نعتبر انهما متطابقين بل يلزم تساوى الزوايا المتناظرة "




صــ57 أُفضل فى تمرين 2 , 3 ترقيم الرسومات ولو بالاحرف
الدرس الثانى
فكرة عن محور التماثل او خط الطى لاحظ من أولها كل محور تماثل هو خط طى وليس كل خط طى محور تماثل كما بالشكل




هنا خط طي وهو خط تماثل طي وليس تماثل طي وليس تماثل
الاشكال المتماثلة وخطوط التماثل
انظر الى وجهك وانظر الى خط التماثل اين تجده وانظر الى الأشكال الآتية أين تجد خط التماثل مما ياتى





مما سبق يتضح ان بعض الأشكال الهندسية لها خط تماثل او أكثر وتعتبر أشكالا متماثلة وبعضها ليس له خط تماثل وتعتبر أشكالا غير متماثلة و ضحهم بالرسم
له عدد كبير جداً من المحاور

له 4 محاورانظر المربع المستطيل متوازي الأضلاع الدائرة
لا يوجد
له محوران
له محور واحد
له 3 محاور
محور واحدالمنقلة المثلث المتساوي الأضلاع المتساوي الساقين المختلف الأضلاع
لا يوجد

( 3)
Amin_soker@yahoo.com
0106772267
صـ60 : تدريب 5 سهل للطالب وموضع سؤال امتحانات
فمن الرسم الذى امامك يتضح ان شبه المنحرف المتساوي الساقين له خط تماثل واحد وهو المستقيم المار بمنتصفى قاعدتيه



صـ61 تدريب 6 محاور تماثل الدائرة يعدل بند( د) في الكتاب "الى مما سبق نجد ان
" اى مستقيم يحمل قطر فى الدائرة هو محور تماثل أو ( اى مستقيم يمر بمركزها ) كما بالشكل المقابل "




إذا للدائرة عدد كبير جدا من محاور التماثل لا تقل" مالانهاية "

صــ 62 الرسم الذى أمامك انظر إلى الإجابات
خط تماثل الأشكال الثلاثة 4
عدد خطوط التماثل المشتركة للثلاثة 4

(4) عدد خطوط التماثل المشتركة للمربعين 4
Amin_soker@yahoo.com
0106772267
المستوى الإحداثي ذو البعدين
وبعض الأشكال الهندسية
كل ما يهمنا هنا شكل القوس ( ) فلا تكتب { } أو [ ] لأن كلاً له معنى آخر فيما بعد
( 2 ، 5 ) زوج مرتب لاحظ مرتب هنا تعني إهتمام بالترتيب
بعدها الأول 2 ، بعدها الثاني 5
أو مسقطها الأول 2 و مسقطها الثاني 5
لاحظ أن ( 2 ، 5 ) = ( 5 ، 2 ) الزوج المرتب لا يتمتع بخاصية التبادل
مثال نتيجة مباراة الأهلي و الزمالك هي ( 2 ، 1 ) ماذا تفهم ؟
لاحظ أن أ = (2 ، 3 ) هي نفسها أ ( 2 ، 3 ) أي لا أهمية لعلامة " = "
حدد للطالب نقط على مستوى إحداثي ذو بعدين و أكتب إسم الشكل بشرط تدريبه على تمثيل النقط إما على سبورة رسم بياني ( ولو على ورقة كارتون ) أو سبورة وبرية .


1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
0
ع

هـ

( 1 ، 4 )
( 5 ، 4 )
د
جـ
ك


أ
ب
( 1 ، 1 )
( 5 ، 1 )
ن


1 - النقط أ ( 1 ، 1 ) ، ب ( 5 ، 1 ) ، جـ ( 5 ، 4 ) ، د ( 1 ، 4 )
تكون ................... محيطة = ................... ، مساحة سطحه = ................................
2 - من الشكل المقابل ع= ( ، ) ، ك = ( ، ) ، ن = ( ، ) ، هـ = ( ، )
3 - ع ك محور تماثل للمستطيل أم ع ك أم خطأ كل منهما

( 5) 4 - نقطة الأصل هي و= ( ، )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
Amin_soker@yahoo.com
0106772267













مركز الدائرة ( ، ) و طول نصف قطر الدائرة =
إحداثيات رؤس متوازي الأضلاع هي ............... ، .................. ، ................ ، .......................
إحداثيات رؤوس المثلث هي ................. ، .............................. ، ............................
اعداد
أ/ محمدأمين سكر
موجه رياضيات
أ/ وائل كمال الجندي أ/ جاب الله مصطفى القلفاط
مدرسة ع عمر الإبتدائية مدرسة الشباب الإبتدائية
عنوان المدونة Aminsoker.blogspot.com شاركنا بمقترحاتك

سبحان من هندس الوجوه وهندس الوجود
سبحان من هندس الانام وهندس الانامل
سبحان من هندس القلب وهندس القالب
سبحان من احسن صوركم
سبحان الله

( 6) اللهم يا مالك الملك اجعل عملنا هذا خالصا لوجهك الكريم فان اتقى القلب الله بذل البدن جهده لارضاء الله

متتابعات

( 1) كم جدا من المتتابعة الحسابية ( 30 ، 27 ، 24 ، ............ ) أبتداء من حدها العاشر حتي يكون المجموع مساويا ـــ 270
( 2) أذا كان مجموع السبعة حدود الاولي من المتتابعة الحسابية يساوي =49 وحدودها الثاني والثامن والثامن والثلاثون في تتابع هندسي اوجد المتتابعة الحسابية
(3) أدخل عشر اوساط حسابية بين 128 ، 95 ثم اوجد مجموع هذة الاوساط
1
2(4) متتابعة حسابية فيها مجموع حديها الاول والثالث يساوي 40 ومجموع حديها الثاني والسادس يساوي 80 أوجد المتتابعة ثم أوجد رتبو وقيمة اول حد قيمتة اكبر من 1000
(5) أذا كان الحد الاول متتابعة هندسية = 240 والحد الاخير = 15 والاساس = ـــــ أوجد مجموع هذة المتتابعة وكذلك عدد حدودها
1
9(6) أذا كان ( 81 ، س ، ص ، 3 ، ........... ) في تتابع هندسي أوجد قيمة كلا من س ، ص ثم اوجد مجموعها للمالانهاية
( 7) متتابعة هندسية فيها الحد الثالث = 3 والحد السادس = ــــــــ اوجد المتتابعة وكذلك مجموعها الي المالانهاية ان امكن ذلك
(8) متتابعة حسابية الحد الثاني فيها = 16 ومجموع الاثني عشر جدا الاولي فيها = 318 أوجد المتتابعة
( 9) متتابعة هندسية غير منتهية حدودها موجبة أذا كان مجموعها الي المالانهاية ابتداء من حدها الثاني = 96 وحدها الثاني يذيد عن حدها الثالث بمقدار 24 أثبت أنة يوجد متتابعتان وانة يمكن جمع احداهما للمالانهاية واوجد هذا المجموع
(10) متتابعة حسابية فيها الحد الثاني = 23 والحد الثالث يذيد عن الحد الثامن بمقدار 10 أوجد المتتابعة وعدد حدودها ابتداء من حدها الاول يكون المجموع منعدم
(11) أذا كان 2 س +1 ، س ــ 1 ، س ـــ 3 في تتابع هندسي أوجد قيمة س ثم بين انة يوجد متتابعتين و انة يمكن جمع احداهما للمالانهاية
(12) عددان وسطهما الحسابي = 5 والهندسي = 4 اوجد العددين
واخيرا اخى المدرس ابنى الطالب هذا العمل لك ومن مواقع شتى فللكل حريه العمل به نسالك الدعاء التوفيق من عند الله

متتابعات

( 1) كم جدا من المتتابعة الحسابية ( 30 ، 27 ، 24 ، ............ ) أبتداء من حدها العاشر حتي يكون المجموع مساويا ـــ 270
( 2) أذا كان مجموع السبعة حدود الاولي من المتتابعة الحسابية يساوي =49 وحدودها الثاني والثامن والثامن والثلاثون في تتابع هندسي اوجد المتتابعة الحسابية
(3) أدخل عشر اوساط حسابية بين 128 ، 95 ثم اوجد مجموع هذة الاوساط
1
2(4) متتابعة حسابية فيها مجموع حديها الاول والثالث يساوي 40 ومجموع حديها الثاني والسادس يساوي 80 أوجد المتتابعة ثم أوجد رتبو وقيمة اول حد قيمتة اكبر من 1000
(5) أذا كان الحد الاول متتابعة هندسية = 240 والحد الاخير = 15 والاساس = ـــــ أوجد مجموع هذة المتتابعة وكذلك عدد حدودها
1
9(6) أذا كان ( 81 ، س ، ص ، 3 ، ........... ) في تتابع هندسي أوجد قيمة كلا من س ، ص ثم اوجد مجموعها للمالانهاية
( 7) متتابعة هندسية فيها الحد الثالث = 3 والحد السادس = ــــــــ اوجد المتتابعة وكذلك مجموعها الي المالانهاية ان امكن ذلك
(8) متتابعة حسابية الحد الثاني فيها = 16 ومجموع الاثني عشر جدا الاولي فيها = 318 أوجد المتتابعة
( 9) متتابعة هندسية غير منتهية حدودها موجبة أذا كان مجموعها الي المالانهاية ابتداء من حدها الثاني = 96 وحدها الثاني يذيد عن حدها الثالث بمقدار 24 أثبت أنة يوجد متتابعتان وانة يمكن جمع احداهما للمالانهاية واوجد هذا المجموع
(10) متتابعة حسابية فيها الحد الثاني = 23 والحد الثالث يذيد عن الحد الثامن بمقدار 10 أوجد المتتابعة وعدد حدودها ابتداء من حدها الاول يكون المجموع منعدم
(11) أذا كان 2 س +1 ، س ــ 1 ، س ـــ 3 في تتابع هندسي أوجد قيمة س ثم بين انة يوجد متتابعتين و انة يمكن جمع احداهما للمالانهاية
(12) عددان وسطهما الحسابي = 5 والهندسي = 4 اوجد العددين
واخيرا التوفيق من عند الله

هندسه فراغيه

هندسة فراغية
* المستقيمات والمستويات

ملحوظة : المستوى يقسم الفراغ إلى ثلاث مجموعات من النقط
مجموعة النقط الواقعة على احد جانبي المستوى = أ1
مجموعة النقط الواقعة على الجانب الآخر للمستوى = أ2
مجموعة النقط الواقعة على المستوى = أ3
* حالات تعيين المستوى في الفراغ
1- ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة .
2- مستقيمين متقاطعين
3- مستقيمين متوازيين .
4- مستقيم ونقطة خارجة عنه .
ملحوظة : إذا اشترك مستويان في ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة فانهما ينطبقا

* الأوضاع النسبية للمستويات والمستقيمات
تعريف :
الزاوية بين مستقيمين متخالفين هي الزاوية
التي يصنعها احدهما مع مستقيم مرسوم من نقطة
عليه موازياً للمستقيم الآخر .
في الشكل ل1 ، ل2 مستقيمان متخالفان
امثلة :
(1)أكمل
1-عدد المستويات التي تمر بنقطة معلومة هي .........
2-عدد المستويات التي تمر بنقطتين معلومتين هي .......
3-عدد المستويات التي تمر بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة هي ....
4- يتقاطع المستويان في .......
5- يتقاطع المستقيمان في .......
6- يتقاطع مستقيم مع مستوى في .......
7- إذا اشترك مستقيم ومستوي في نقطتين مختلفتين فان.......
8- إذا كان المستقيم // المستوى فان = ......
9- اذا كان المستقيم المستوى فان = ......
الحل:
1- لا نهائي
2- لا نهائي
3- واحد فقط
4- مستقيم
5- نقطة
6- نقطة
7- المستقيم يقع في المستوى
8-
9- ل
(2) ضع علامة( v) أمام الإجابة الصحيحة وعلامة ( X ) أمام الاجابة الخطأ .
1- يتقاطع المستويان في نقطة .
( x )
2- إذا كان المستقيم المستوي حيث أ نقطة ما فإن
( x )
3- إذا كان المستقيم المستوى فإن //. س
( v)
4- يتقاطع المستقيمان في نقطة .
( v)
5- إذا كان المستقيم المستوى س فإن .
( x )
6- إذا كان المستقيم // المستوى س فإن حيث أ نقطة ما .
( x )
توازي مستقيمين
يتوازى المستقيمان ل1 ، ل2 إذا وفقط إذا كان :
1-يجمعهم مستوى واحد .

* بعض المجسمات الشهيرة
أولاً المنشور :
تعريف :- المنشور هو المجسم الناتج
من انتقال سطح مضلع موازياً لنفسه
في اتجـاه ثابت ويسمى سطح المضلع في كل من
وضعه الأول ووضعه الاخير قاعدة المنشور .

في الشكل : منشور ثلاثي
قاعدتاه وإذا كان اتجاه
الانتقال عمودي على سطح المضلع يسمى منشور قائم
وإذا كان الانتقال مائلاً على سطح المضلع يسمى منشور مائل ويسمى المنشور حسب شكل القاعدة إذا كانت القاعدة مثلث يسمى منشور ثلاثي وإذا كانت القاعدة شكل رباعي يسمى منشور رباعي ،...
خواص المنشور :-
1-القاعدتان متوازيتان متطابقتان .
2-إذا كان المنشور :
( أ ) قائم : فإن الاوجه الجانبية مستطيلات .
( ب ) مائل : فإن الاوجه الجانبية متوازيات اضلاع .
3-الأحرف الجانبية متساوية في الطول ومتوازية .
حالات خاصة للمنشور :
1- متوازي السطوح
هو منشور مائل كل من
قاعدتيه متوازي أضلاع
متوازي السطوح مكون من 6 أوجه
كل منها متوازي أضلاع ،وكل وجهين
متقابلين متوازيين ومتطابقين .
قطر متوازي السطوح :
هو القطعة المستقيمة التي تصل بين رأسين لا يجمعهما مستوى واحد .
في الشكل المرسوم : الأقطار هي
1- متوازي المستطيلات
هو منشور قائم كل من قاعدتيه مستطيل
متوازي المستطيلات مكون من 6 أوجه كل منها مستطيل وكل وجهين متقابلين متوازيين ومتطابقين .
ملحوظة :
إذا كانت ابعاد متوازي المستطيلات هي س ، ص ، ع
3- المكعب
هو متوازي مستطيلات جميع اطوال أحرفه متساوية في الطول .
جميع أوجهه مربعات متطابقة وكل وجهين متقابلين متوازيين .
ملحوظة :إذا كان طول حرف المكعب = ل
طول قطره =
الهرم القائم :
هو هرم قاعدته مضلع منتظم ( مثلث متساوي الأضلاع - مربع - خماسي منتظم - ………… ) مركز هذا المضلع المنتظم هو موقع العمود الساقط من رأس الهرم على قاعدته.
الحل:
1-
2-
3-
4- س ، ص
5- ص
6-
7-
8- أ َ بَ حـَ
9- س ، ص ،
مثال(3)

س ص م ل متوازي أضلاع .
* توازي مستقيم ومستو
نظرية 1 : -
إذا وازي مستقيم مستوياً فإنه يوازي جميع المستقيمات التي تنشأ عن تقاطع هذا المستوي مع المستويات التي تحتوي ذلك المستقيم .
المعطيات :
البرهان :
حقيقة :
إذا وازي مستقيم خارج مستوى مستقيماً في المستوى فإنه يوازي ذلك المستوى .
نتائج
مثال 1:
اثبت أن :
1) ∆ م ن ك ~ ∆ ص ع ل
2) إذا كانت مساحة سطح ∆ م ن ك = 25 سم2
أوجد مساحة سطح ∆ ص ع ل
الحل :
المستوي م ن ك يوازي المستوى ص ع ل ، المستوى
س ص ع قاطع لهما

بالمثل المستوى س ع ل قاطع لهما
بالمثل المستوى س ص ل قاطع لهما
من 1 ، 2 ، 3
∆ م ن ك ~ ∆ ص ع ل
مـ ( ع ص ل ) = 25 16 = 400 سـم2
مثال 2:

الحل
تمرين مشهور
( إذا قطعت عدة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينها تكون متناسبة ) .
المعطيات :
المستويات س ، ص ، ع

، ل1 ، ل2 قاطعان لهما في أ ، ب ، حـ ،
أ َ, ب ،َ حـَ على الترتيب .
المطلوب :
أثبات أن :
العمل :
نصل أ جـ فيقطع المستوى ص في د .
البرهان :
،
المستوى أجـ حـ/ قاطع لهما
ب د حـ حـَ
----- < 1
س ص ، المستوى أأ َحـ قاطع لهما
د بَ أ أ َ
------- < 2
من 1 ، 2

نظرية 2 : ( بدون برهان )
( إذا تقاطع مستقيمان في مستوى وكانا موازيين لمستقيمين متقاطعين في مستوى آخر، كان مستو المستقيمين الأولين موازياً لمستو المستقيمين الأخريين )
في الشكل
مثال1 : -
م أ ب حـ هرم ثلاثي ، أخذت النقط د ، هـ ، و على الأحرف ، ، على الترتيب بحيث :
وإذا أخذنا نقطة ك ' ورسمنا فقطعت في ن فأثبت أن ،
وإذا كان أ ك = 15 سـم
أوجد طول .
الحل :
-----< 1

----- < 2
من 1 ، 2
المستوى د هـ و المستوى أ ب حـ
المستوى م أ ك قاطع لهما
أ ك
مثال 2 :
أ ب حـ ، أ ب د مثلثان في مستويين مختلفين ، ل ، م ، ن ، هـ منتصفات ، ، , على الترتيب .
أثبت أن :
1- الشكل ل م ن هـ متوازي أضلاع .
2- أ ب المستوى ل م ن هـ .

ل منتصف ،
م منتصف
من (1 ), (2)

، هـ ن = ل م
الشكل ل م ن هـ متوازي أضلاع
، ل م ، واقعان في المستوى ل م ن هـ
، أ ب موازياً لكل منهما
أ ب المستوى ل م ن هـ .
* المستقيم العمودي على مستوي
تعريف : إذا كان مستقيم عمودياً على كل مستقيم في مستوي قيل أن المستقيم عمودي على المستوي أو المستوى عمودى على المستقيم .

نظرية3 ( بدون برهان )
( المستقيم العمودي على كل من مستقيمين متقاطعين
من نقطة تقاطعهما يكون عمودياً على مستويهما)
في الشكل :
ل1 ، ل2 É س

م ل1 ، م ل2 من نقطة تقاطعهما
م المستوى س

نتائج :
1- إذا كان مستقيم على كل من مستقيمين مستويين معاً وغير متوازيين فإنه يكون عمودياً على مستويهما .

2- جميع الاعمدة المرسومة على مستقيم من نقطة عليه تقع في مستوى واحد ، هذا المستوى عمودي على هذا المستقيم .
3- يوجد مستوى واحد وواحد فقط عمودي على مستقيم ل من نقطة عليه .

4- المستقيمان العموديان على مستوى واحد متوازيان .
5-إذا كان مستقيم على كل من مستويين فإنهما يكونان متوازيين .

مثال1 :
أب حـ د مستطيل ، م نقطة لاتنتمي إلى مستوى المستطيل بحيث .
أثبت أن :
1) المستوى أ م د .
2) يوجد مستقيم آخر المستوى أ م د .
الحل :
1- ( معطى )
أ ب حـ د مستطيل
أ د

أ ب أ م ، أ د
أ ب المستوى أ م د .

2- أ ب
، أ ب المستوى أ م د
المستوى أ م د .
مثال2 :
أ ب قطر في دائرة ، طول نصف قطرها 5 سـم ، رسم مستوى الدائرة ،
حـ ' الدائرة بحيث أ حـ = 6 سـم ، حـ د = 15 سـم .
أثبت أن :
ب جـ جـ د . أوجد طول ب د

* الإسقاط العمودي
تعريف : المسقط العمودي لنقطة معلومة على مستوى معلوم هو موقع القطعة المستقيمة العمودية المرسومة من النقطة المعلومة على المستوى .
في الشكل :-
أ س ، س
أ َ هي مسقط أ على س
وإذا كانت " ب " ' س فإن مسقط " ب " على المستوى س هو النقطة " ب " نفسها .

في الشكل : -
س ، س
* الزاوية بين مستقيم ومستو
هي الزاوية بين القطعة المستقيمة المحمولة على نفس المستقيم ومسقطها على المستوى
في الشكل
نظرية4
( إذا رسم مستقيم مائل على مستوى وكان عمودياً على مستقيم في المستوى فإن مسقط المستقيم المائل على المستوى يكون عمودياً على هذا المستقيم )
المعطيات :
، مسقط جـ د على المستوى س
المطلوب :
أ ب
عكس نظرية4
( إذا رسم مستقيم مائل على مستوى وكان مسقطه على المستوي عمودياً
على مستقيم فيه كان هذا المستقيم المائل عمودياً على ذلك المستقيم )
المعطيات :
البرهان :
المستوى س
أ ب
أ ب كل من ،
أ ب المستوى حـ د هـ
أ ب جـ د
مثال1 :
الحل :
مثال2 :
الحل :


* الزاوية الزوجية
تعريفها : إذا كان لنصفي مستويين حد مشترك فإن اتحاد نصفي المستويين مع ذلك الحد يسمي زاوية زوجية .
في الشكل :
س ، ص نصفا مستويين يشتركان في

* الزاوية المستوية للزاوية الزوجية
تعريفها :هي الزاوية الناشئة من تقاطع الزاوية الزوجية مع أي مستوى عمودي على حافتها
في الشكل
المستوى د هـ و أ ب
د هـ و هي الزاوية المستوية
للزاوية الزوجية .
ملحوظة :
جميع الزوايا المستوية لزاوية زوجية تكون متساوية في القياس .

* المستويات المتعامدة
يقال أن مستويين متعامدين إذا كان قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية = 90ْ .
نظرية5
( إذا كان مستقيم على مستوى ، فكل مستوى يحوي هذا المستقيم يكون عمودياً على ذلك المستوى )
المعطيات :
المطلوب :
س ص

العمل :
نرسم أ ب
البرهان :
جـ د س
جـ د أ ب
، أ ب د حـ هـ هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية-----< 1
ق ( د هـ ) = 90ْ ----- < 2
من 1 ، 2
س ص
نظرية6 ( بدون برهان )
(إذا تعامد مستويان ورسم في أحدهما مستقيم عمودي على خط التقاطع كان هذا المستقيم عمودياً على المستوى الآخر(
في الشكل :
حقيقة هندسية :
( إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوى ثالث ، كان خط تقاطعهما عموديا
على المستوى الثالث )
في الشكل :
س ، ص
،


مثال1
أ ب حـ فيه ق ( ) = 30ْ ، أ ب = 12 سـم ، رسم ب د المستوى أ ب حـ
بحيث ب د = 6 سـم ،
رسم ويقطعه في ن .
1) أثبت أن : .
أوجد ق ( ب - - د).
الحل :

مثال2 :
أ ب حـ د مربع ، مستوى المربع .
1-أثبت أن المستويين م أ ب ، م أ د متعامدان .
2-إذا كان أم = أ د .أوجد قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية
بين المستويين م حـ د ، أ ب حـ د .
مستوى المربع
،
المستوى أ م د
المستوى م أ ب
المستوى م أب المستوى م أ د ( أولاً )
المستويان م حـ د ، أ ب حـ د متقاطعان في -----< 1
مسقط على المستوى أ ب حـ د
----- < 2
أ د م هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية بين المستويين م حـ د
، أ ب حـ د
في م أ د ظـا ( أ م ) = 1
ق (أ م ) = 45 ْ .

* المستويات المتعامدة
يقال أن مستويين متعامدين إذا كان قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية = 90ْ .
نظرية5
( إذا كان مستقيم على مستوى ، فكل مستوى يحوي هذا المستقيم يكون عمودياً على ذلك المستوى )
المعطيات :
المطلوب :
س ص

العمل :
نرسم أ ب
البرهان :
جـ د س
جـ د أ ب
، أ ب د حـ هـ هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية-----< 1
ق ( د هـ ) = 90ْ ----- < 2
من 1 ، 2
س ص
نظرية6 ( بدون برهان )
(إذا تعامد مستويان ورسم في أحدهما مستقيم عمودي على خط التقاطع كان هذا المستقيم عمودياً على المستوى الآخر(
في الشكل :
حقيقة هندسية :
( إذا كان كل من مستويين متقاطعين عمودياً على مستوى ثالث ، كان خط تقاطعهما عموديا
على المستوى الثالث )
في الشكل :
س ، ص
،


مثال1
أ ب حـ فيه ق ( ) = 30ْ ، أ ب = 12 سـم ، رسم ب د المستوى أ ب حـ
بحيث ب د = 6 سـم ،
رسم ويقطعه في ن .
1) أثبت أن : .
أوجد ق ( ب - - د).
الحل :

مثال2 :
أ ب حـ د مربع ، مستوى المربع .
1-أثبت أن المستويين م أ ب ، م أ د متعامدان .
2-إذا كان أم = أ د .أوجد قياس الزاوية المستوية للزاوية الزوجية
بين المستويين م حـ د ، أ ب حـ د .
مستوى المربع
،
المستوى أ م د
المستوى م أ ب
المستوى م أب المستوى م أ د ( أولاً )
المستويان م حـ د ، أ ب حـ د متقاطعان في -----< 1
مسقط على المستوى أ ب حـ د
----- < 2
أ د م هي الزاوية المستوية للزاوية الزوجية بين المستويين م حـ د
، أ ب حـ د
في م أ د ظـا ( أ م ) = 1
ق (أ م ) = 45 ْ .

* السرعة النسبية
متجه السرعة :
هو متجه
1) معياره هو قيمه السرعة
2) اتجاهه ينطبق على اتجاه الحركة
وحدات قياس معيار السرعة :
وحده مسافة / وحده زمن مثل سم /ث ، م /ث ، كم /س ،………
الحركة المنتظمة : هى الحالة التى يكون فيها كل من معيار واتجاه متجه السرعة ثابتاً
العلاقة بين متجهى الازاحه والسرعة في الحركة المنتظمة



إذا كان ن2 - ن1 صفر
، ن هو منتصف هذه الفترة الزمنية

الحركة المتغيرة :
التى فيها يتغير كل من مقدار واتجاه السرعة أو يتغير أحدهما دون الآخر .
السرعة النسبية :


مثال 1:
قطع راكب دراجة 60 كم على طريق مستقيم بسرعة 20 كم/س ثم عاد فقطع 30 كيلو متراً فى الإتجاه المعاكس بسرعة 15 كم/س أوجد متجه سرعته المتوسطة خلال الرحلة الكلية
الحل :

مثال 2 :
تتحرك سيارة لمراقبة السرعة على طريق بسرعة 40 كم/س . راقبت هذه السيارة حركة شاحنه قادمة في الاتجاه المضاد فبدت وكأنها تتحرك بسرعة 130 كم/س فما هى السرعة الفعلية للشاحنة .
الحل


سرعة الشاحنة هى 90 كم / س
الحركة المتغيرة - الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة
الحركة بعجلة منتظمة
تعريف : متجه العجلة هو المعدل الزمنى للتغير في متجه السرعة


وحدات قياس العجلة :
وحده مسافة/(وحده زمن )2
مثل م/ث2 ، سم / ث2 ، ………
ملحوظة:

هى السرعة الابتدائية ،
ع هي السرعة النهائية ،
ف هى القياس الجبري لمتجه الإزاحة ،
حـ هى العجلة
مثال1:
تحرك جسم في اتجاه ثابت فقطع 18 متراً في الثوانى الثلاثة الأولى من حركته ، 12 متراً في الثانية الخامسة ، 20 متراً في الثانية التاسعة.أثبت أن هذه المسافات تتفق والفرض بأن هذا الجسم يتحرك بعجلة منتظمة وأحسب سرعته عند بدء الحركة.
الحل

مثال 2:
أطلقت رصاصة أفقيا على كتلة خشبية بسرعة 200 متر/ث فغاصت فيها مسافة 4سم.أوجد العجلة التى تحركت بها الرصاصة إذا علم أنها تتحرك بعجلة منتظمة.وإذا فرض أن سمك الخشب 3سم ،فما هى السرعة التى تخرج بها الرصاصة من الكتلة الخشبية
الحل
1) = 200 م/ث
ف = 0.04م
ع = صفر
ع2 = + 2 جـ ف
صفر = 40000 + 2 × 0.04 × جـ
جـ = - 500000 م/ث2
2) ع2 = ع2 + 2 جـ ف
ع2 = (200 )2 - 2 × 500000 × 0.03
ع2 = 40000 - 30000
ع2 = 10000
ع = 100 م/ث
* الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية الأرضية

قوانين الحركة الرأسية
1) ع = ع0 + ء ن

) ع2 = ع20 + 2 ء ف
حيث " د " عجلة الجاذبية الأرضية ، تعمل لأسفل
، د = 9.8 م /ث2
أو د = 980 سم /ث2
ملاحظات :

لاحظ أن :
1) زمن الوصول لأقصى ارتفاع = زمن العودة لنقطةالقذف
2) سرعة جسم عندما يتحرك رأسياً لأعلى مروراً بنقطة ما= سرعة هذا الجسم عندما يتحرك رأسياً لأسفل مروراً بنفس النقطة في المقدار .

مثال1:
قذف جسيم لأعلى بسرعة مقدارها 39.2 م/ث أوجد الزمن الذى يستغرقه الجسم للوصول لأقصى ارتفاع وكذلك أقصى ارتفاع
الحل
لاحظ أن :
1) زمن الوصول لأقصى ارتفاع = زمن العودة لنقطةالقذف
2) سرعة جسم عندما يتحرك رأسياً لأعلى مروراً بنقطة ما= سرعة هذا الجسم عندما يتحرك رأسياً لأسفل مروراً بنفس النقطة في المقدار .

مثال1:
قذف جسيم لأعلى بسرعة مقدارها 39.2 م/ث أوجد الزمن الذى يستغرقه الجسم للوصول لأقصى ارتفاع وكذلك أقصى ارتفاع
الحل

مثال 2 :
قذفت كره صغيرة رأسياً لأعلى من نافذة منزل ، شوهدت وهى تهبط أمام النافذة بعد 6 ث ثم وصلت للأرض بعد 7 ث من لحظة القذف . أوجد ارتفاع النافذة عن الأرض .
الحل

ع0 = 3 × 9.8 = 29.4 م
الزمن الذى استغرقه الجسم من النافذة إلي الأرض هو
7 - 6 = 1 ث

ف = 29.4 + 4.9
ف = 34.3 م

* تفاضل الدوال المتجهة


ملاحظات :
1)إذا كان ع حـ > صفر
الحركة متسارعة
2)إذا كان ع حـ < صفر
الحركة تقصيريه
أنواع الحركة :
1)منتظمة : إذا كانت حـ = صفر
2)منتظمة التغير : إذا كانت حـ = ثابت صفر
3)متغيرة : إذا كانت حـ متغيرة

مثال 1 :
أوجد متجه السرعة والعجلة في الحالات الآتية مبيناً ما إذا كانت الحركة منتظمة أو منتظمة التغير أو متغيرة
أ) = (2ن+1)

ب) = (4ن2 +5ن - 2)
جـ) = (2ن3 - ن +5)
الحل
أ) = (2ن + 1)

الحركة منتظمة
ب) = (4ن2 +5ن-2)
ب) = (4ن2 +5ن - 2)
جـ) = (2ن3 - ن +5)
الحل
أ) = (2ن + 1)

الحركة منتظمة
ب) = (4ن2 +5ن-2)

مثال2:
إذا كان متجه الازاحه = (2ن3 -ن) أوجد متجه السرعة ومتجه العجلة وبين متى تكون الحركة متسارعة ومتى تكون الحركة تقصيريه
الحل
الحل
= (2ن3 - ن )
= (6ن2 - 1 )

ع حـ = (6ن2 -1) (12ن)
ن > صفر
6ن2 - 1 = صفر
أو 6ن2 - 1 < صفر
أو 6ن2 - 1 > صفر




* كمية الحركه
تعريف :
كميةالحركة (ﻣ) هى :
كمية حركة جسم هو حاصل ضرب كتلته في سرعته
• ﻣ = ك ع
وحدات الكتلة:-
مثل الجرام ، الكيلو جرام ، الطن...
1 طن = 10 3كجم.
1 كجم = 10 3جرام.
1 جرام = 10 3 ملجم
وحدات كمية الحركة :-
\ ﻣ = ك ع
\ وحدات كمية الحركة = وحدة كتلة. وحدة سرعة
مثل جم.سم/ث ، كيلو جرام . كم/س ،...
التغير في كمية الحركة= ﻣ 2 - ﻣ 1 =
مثال1:
أوجد كمية حركة سيارة كتلتها 1600 كيلو جرام تتحرك بسرعة 90كم/س ، مقدراً إجابتك بواحدة جم.سم/ث.
الحل

مثال2:
تركت كرة من المطاط كتلتها 100 جرام. لتسقط من إرتفاع 19.6 متر على أرض أفقية فاصطدمت بها وارتدت إلى ارتفاع 10 متر قبل أن تسكن لحظياً.
إحسب مقدار التغير في كمية حركتها قبل وبعد التصادم مباشرة.
الحل
القانون الأول لنيوتن
" كل جسم يبقى على حالته من سكون أو حركة منتظمة ما لم يؤثر عليه مؤثر خارجي يغير من حالته" أي أنه في هاتين الحالتين يكون ق=م( م هي المقاومة).
مثال1:

الحل

مثال2:
كرة معدنية وزنها 80 ث.كجم تتحرك رأسياً لأسفل في سائل ، وجد أنها تقطع مسافات متساوية في فترات زمنية متساوية . فما هو مقدار قوة مقاومة السائل لحركة الكرة.
الحل
Qالحركة منتظمة.
ق = م
م = ك ء
م = 80 × 9.8 نيوتن.
م = 80 ث.كجم.
مثال3:
تتحرك سيارة كتلتها 6طن على طريق أفقي مستقيم تحت تأثير مقاومة تتناسب مع مقدار سرعتها ، فإذا كانت المقاومة 10 ث.كجم لكل طن من كتلة السيارة عندما كانت سرعة السيارة 64كم/ساعة.
أوجد أقصى سرعة للسيارة إذا علم أن أقصى قوة يولدها محرك السيارة هي 90 ث.كجم.
الحل
Q الحركة منتظمة.
القانون الثاني لنيوتن.
" معدل تغير كمية حركة الجسم بالنسبة للزمن يتناسب مع القوة المحدثة له ويكون في اتجاهها".
استنتاج القانون :

إذا كانت ك=1جم ، ج =1سم/ث2 ، ق =1 داين أ=1
، إذا كانت ك=1كجم ، ج=1م/ث2 ، ق=1 نيوتن أ=1
\ ق= ك ج
وفي حالة وجود مقاومة يأخذ القانون الشكل الآتي:
ق - م = ك جـ
ملاحظات عامة :
(1) 1 نيوتن = 10° داين.
(2) 1 ث جرام = 980 داين.
(3) 1 ث .كجم = 9.8 نيوتن.

مثال2:
سقط جسم كتلته 2كجم من ارتفاع 10 أمتار نحو أرض رملية فغاص مسافة 5سم ،احسب بثقل الكيلو جرام مقاومة الرمل بفرض ثبوتها.
الحل
ع2 = + 2 ء ف
ع2 = صفر + 2 × 9.8 × 10
ع = 14 م/ث.
الحركة داخل الرمل:-

مثال3:
كرة معدنية كتلتها ك تتحرك في خط مستقيم بسرعة منتظمة 15م/ث في وسط يحمل غباراً.فإذا كان الغبار يلتصق بسطحها بمعدل 0.04جم في الثانية .أوجد القوة المؤثرة على الكرة.
الحل

القانون الثالث لنيوتن
"لكل فعل رد فعل مساو له في المقدار ومضاد له في الاتجاه"
تطبيقات
أولاً: جسم موضوع على أرضية مصعد متحرك بعجلة منتظمة.
(1) إذا كان المصعد ساكن أو متحرك بسرعة منتظمة
ر= ك ء

(2) إذا كان المصعد يتحرك لأعلى بعجلة منتظمة.
ر < ك ء
ر = ك ( ء + جـ )

(3) إذا كان المصعد يتحرك لأسفل بعجلة منتظمة:
ر > ك ء
ر = ك ( ء - جـ )

ثانياً : جسم معلق في ميزان زنبركي مثبت في سقف المصعد:
(1) إذا كان المصعد ساكن أو متحرك بسرعة منتظمة.
ش = ك ء

(2)إذا كان المصعد يتحرك لأعلى بعجلة منتظمة:
\ ش < ك ء
\ ش = ك ( ء + جـ )

(3) إذا كان المصعد يتحرك لأسفل بعجلة منتظمة:
ش > ك ء
ش = ك ( ء - جـ)

ثالثاً :- الحركة على مستوى مائل أملس:
1) الحركة لأعلى تحت تأثير الوزن فقط:

2) الحركة لأسفل تحت تأثير الوزن فقط:

3) إذا كان هناك قوة ومقاومة والحركة لأعلى:


مثال1:
جسم كتلته 4 كجم موضوع على أرضية مصعد.أوجد مقدار قوة ضغط هذا الجسم على أرضية المصعد عندما يكون المصعد:
1) متحركاً بسرعة منتظمة.
2) متحركاً لأعلى بعجلة مقدارها 147سم/ث2.
ج) متحركاً لأسفل بعجلة مقدارها 147سم/ث2.
الحل
(أ) ر= ك ء
ر = 4 × 9.8 نيوتن.
ر = 4 ث . كجم.

(ب) ر = ك ( ء + جـ)
ر = 4 ( 9.8 + 1.47)نيوتن
ر = 4.6 ث.كجم.

(ج) ر = ك ( ء - جـ)
= 4(9.8 - 1.47) نيوتن.
= 3.4 ث.كجم.

مثال2:
جسم كتلته 2 كجم موضوع على مستو مائل أملس يميل على الأفقي بزاوية
هـ حيث ظا هـ = ، ترك ليتحرك ،أوجد مقدار رد فعل المستوى على الجسم وكذلك العجلة التي يتحرك بها الجسم على المستوى.

الحل

الدفع
تعريف : الدفع
متجه الدفع هو حاصل ضرب متجه القوة مضروباً في الزمن .
د = ق ن.
وحدات الدفع : وحدة قوة × وحدة زمن.
مثل داين.ث ، نيوتن.ث، …
نظرية : التغير في كمية الحركة يساوي الدفع .
الإثبات:

حيث مـَ كمية الحركة النهائية و ع السرعة النهائية
مثال 1:
عربة سكة حديد كتلتها 21 طن تسير بسرعة منتظمة 14م/ث ، أوقفها حاجز للتصادم في زمن قدره 0.3 ثانية أوجد مقدار الدفع ، متوسط القوة.
الحل

مثال(2):
كرة كتلتها 100 جم سقطت من إرتفاع 4.9 متر على سطح سائل لزج فغاصت فيه بسرعة منتظمة وقطعت مسافة 6 متر في 3 ثواني ، إحسب رفع السائل للكرة.
الحل:-

تصادم كرتين ملساوتين
إذا تصادمت كرتان ملساوتان فإن دفع الكرة الأولى على الثانية يساوي دفع الكرة الثانية على الأولى في المقدار ومضاد في الاتجاه.

مثال (1):
تتحرك كرتان ملساوتان كتلتاهما 0,1 كجم، 0,2 كجم على أرض أفقية على خط مستقيم واحد ، تتحرك الأولى بسرعة 1م/ث والثانية بسرعة 2م/ث في الاتجاه العكسي . إذا تصادمت الكرتان بحيث تتحرك الكرة الثانية في نفس اتجاها بسرعة 0,75 م/ث بعد التصادم ، أوجد سرعة الكرة الأولى بعد التصادم ورفع الكرة الثانية عليها.
الحل:-

الكرة الأولى تتحرك بسرعة 1.5 م/ث في إتجاهها العكسي.
د = ك ( عَ-ع)
د = 0.1(1.5+1)
د= 0.25 نيوتن .ث

مثال (2):-
كرة كتلتها كجم تتحرك في خط مستقيم بسرعة 44سم/ث اصطدمت بكرة أخرى كتلتها 1كجم وهي ساكنة . فإذا تحركت الكرتان بعد التصادم كجسم واحد ، أوجد سرعة هذا الجسم ، وإذا سكن هذا الجسم بعد أن قطع مسافة 11سم من لحظة الاصطدام أوجد مقدار المقاومة بفرض ثبوتها.
الحل:-

مقدار المقاومة = 0.11نيوتن.
= 11× 10 5 داين.

* الشغل - القدرة - الطاقة

الشغل
تعريف : الشغل هو حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة

ش = ق ف جتاهـ
وإذا كانت القوة في اتجاه الإزاحة
ش = ق ف
وحدات الشغل :
وحدة قوة . وحدة مسافة مثل داين . سم (إرج) ،
نيوتن . متر(جول) ، ث . جم . سم ، ………
ملحوظة :
1 جول = 10 7 إرج

مثال(1) :
يتحرك جسم في خط مستقيم من النقطة
أ(-1 ، 4) إلى النقطة ب(2 ، -1) تحت تأثير

مثال(2) :
تحرك رجل صاعداً طريقاً مستقيماً بميل على الأفقي بزاوية هـْ لمسافة ل متراً ثم عاد أدراجه إلى نقطة البداية ، احسب الشغل الذي بذلته قوة الوزن خلال الرحلة الكلية
الحل :

مثال(3) :
أوجد الشغل الذي تبذله قوة الوزن عند رفع جسم كتلته 3 طن رأسياً لمسافة 9 أمتار
الحل :
ش = ⊙
= - ك ء ف
= -3 × 10 3 × 9.8 × 9
= -264600 جول

القدرة
تعريف :القدرة هي المعدل الزمني لبذل الشغل

وحدات القدرة :
وحدة قوة . وحدة سرعة
مثل ث .كجم . م / ث ، ث.جم.م/ث
نيوتن . م/ث = وات
1كيلووات = 10 3 وات
1ث.كجم .متر/ث = 9.8 وات
1 حصان = 75 ث.كجم .متر/ث
1 حصان = 735 وات
ملحوظة :
لحساب القدرة يجب أن تكون السرعة أقصى ما يمكن .
مثال(1) :

الحل :

مثال (2):
قطار كتلته 250 طن يتحرك على شريط أفقي بسرعة منتظمة 30 كم/س . أوجد قدرة آلة القطار علماً بأن مقاومة الطريق تساوي 9 ث.كجم لكل طن من كتلة القطار .
الحل :


طاقة الحركة (ط)
تعريف :تعرف طاقة حركة الجسيم على أنها نصف حاصل ضرب كتلة الجسيم في مربع معيار

وحدات طاقة الحركة :هي نفس وحدات الشغل
إذا كانت الكتلة بالجرام و السرعة بوحدات سم/ث وحدات طاقة الحركة بالأرج
إذا كانت الكتلة بالكيلوجرام والسرعة بوحدات م/ث وحدات طاقة الحركة بالجول

مثال(1) :
أوجد طاقة حركة جسيم كتلته 40 جرام يتحرك بسرعة قدرها 30 م/ث
الحل :



مبدأ الشغل والطاقة :


ط - ش = ط0 ط - ط0 = ش
مثال(1) :
استخدم مبدأ الشغل و الطاقة لحل المثال الآتي:
جسم كتلته 3 كيلوجرام ، ترك ليسقط من ارتفاع 20 متراً فوق سطح الأرض.
أوجد طاقة حركة الجسم عندما يكون على وشك الإصطدام بالأرض
الحل :
ط - ط0 = ش
ط - صفر = ك ء ف
ط = 3 × 9.8 × 20
ط = 588 جول
طاقة الحركة = 588 جول

مثال(2) :
استخدم مبدأ الشغل و الطاقة لحل المثال الآتي:
أطلقت رصاصة من بندقية بسرعة 350 م/ث على حاجز خشبي سميك فاستقرت داخله على عمق 4سم من السطح .
فإذا أطلقت رصاصة أخرى من البندقية نفسها على حاجز مصنوع من نفس مادة الحاجز الأول و سمكه 3 سم فاخترقته . أوجد سرعة الرصاصة لحظة خروجها من الحاجز ، علماً بأن مقاومة الخشب لحركة الرصاصة واحدة في الحالتين .
الحل :


طاقة الوضع (ض)
تعريف :تعرف طاقة وضع الجسيم عند لحظة زمنية ما ونرمز لها بالرمز "ض" ، على أنها تساوي الشغل المبذول بواسطة القوة المؤثرة على الجسم لو أنها حركته من الموضع الذي يحتله عند هذه اللحظة الزمنية حتى موضع آخر ثابت على الخط المستقيم الذي تحدث عليه الحركة .

مجموع طاقتي الوضع و الحركة مقدار ثابت خلال الحركة
وحدات طاقة الوضع : هي نفسها وحدات طاقة الحركة
ملاحظات :
1) في حالة الحركة الرأسية
أ) ض = ك ء ف
ب) التغير في طاقة الوضع = ك ء(ف2 - ف1)
2) في حالة الحركة على المستوى المائل
ض = ك ء ل جاهـ

مثال (1) :
أوجد طاقة وضع جسم كتلته 6 كجم موجود على ارتفاع 40 سم من سطح الأرض مقدراً اجابتك بالإرج و الجول
الحل:
ض = ك ء ف
= 6 × 10 3 × 980 × 40 إرج
= 2.352 × 10 8 إرج
= 23.52 جول
مثال (2) :
هبط جسم كتلته 50 جم مسافة 40 سم على خط أكبر ميل لمستو أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها 30 ْ. ما هو التغير في طاقة وضعه
الحل :
التغير في طاقة الوضع = ك ء ل جاهـ
= 50 × 980 × 40 ×
= 9.8 × 510 إرج

استاتيكا

رياضه

1. السلام عليكم
   أولا :ـ أوجد التكاملات الاتية
   1)
   3 س + 6 "C:\Documents and Settings\Administrator\My Documents\My Pictures\Picture\Picture.jpg"
   س + 2
   1 ـــ 2 جا2 س
   جتا س + جا س ∫ ـــــــــــــــــــ ء س ( 5 ) ∫ ــــــــــــــــــــــــ ء س
   2) ∫ ( س+3) س+2 ء س ( 6 ) ∫ ( حا س + جتا س )2ء س
   3) ∫ (س2+6 س + 9 )2 ء س ( 7 ) ∫ (جتا2س + ظا2س) ء س
   4)
   2
   س2
   1
   س ∫ س4(ــــــ + ــــــــ)2 ء س ( 8 ) ∫ 4جا2س جتا2س ء س
   
   ثانيا ً :ـ القيمة العظمي والصفري و الانقلاب
   1) إذا كان د(س) = س3 ــ س2 ـــ س + 1 فأوجد القيم العظمي والصغري المحلية وعين مناطق التحدب لاعلي ولاسفل وكذلك نقطة الانقلاب ( أن وجدت )
   2) إذا كان د(س) = س3 ــ 3 س2 فأوجد القيم العظــمي والصغري المطلقة في الفترة ]ــ 1 ، 3 [ ومن ثم أدرس فترات التزايد والتناقص للدالة وادرس مناطق التحدب لاعلي ولا سفل وعين مقطة الانقلاب ( أن وجدت )
   3) إذا كان د(س) = س3 ــ 3 س2 ـــ 24 س ـــ 14 فأوجد القيم العظــمي والصغري المطلقة في الفترة ]ــ 1 ، 3 [ ومن ثم أدرس فترات التزايد والتناقص للدالة
   ثالثاً :ـ بحث وجود نهاية وقابلية الدالة للاتصال والاشتقاق
   1) الدالة د حيث د( س )
   س2 + 1 حيث س ≥ 1
   د ( س ) =
   أ س حيث س < 1
   الدلة متصلة عن س = 1 فأوجد قيمة أ ثم أبحث قابلية الدالة للاشتقاق عن نفس النقطة
   2) الدالة د حيث د( س )
   س2 + جـ س حيث س ≥ 3
   د ( س ) =
   أ س + ب حيث س < 3
   حيث أ ، ب ، جـ Э ح وعندما تغيرت س من 1 الي 5 كان متوسط التغيير لها = 4 فإذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند س = 3 فأوجد قيم أ ، ب ، جـ
   3) الدالة د حيث د( س )
   ب س2 + 4 س حيث س ≥ 3
   د ( س ) =
   9 + أ س حيث س < 3
   إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عن س = 3 فأوجد قيمة أ ، ب
   4) الدالة د حيث د( س )
   س2 + ب حيث س ≥ 2
   د ( س ) =
   أ س2 ـــ 4 س حيث س < 2
   إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عن س = 2 فأوجد قيمة أ ، ب
   5) الدالة د حيث د( س )
   أ س3 + 1 حيث س ≥ 1
   د ( س ) =
   س2 + ب س حيث س < 1
   إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عن س = 1 فأوجد قيمة أ ، ب
   6)
   د2 ص
   د س2رابعاُ تطبيقات علي التكامل :ـ
   1) إذا كــــان ــــــــــ = ــ 6 س + 12 عن أي نقـــطه ( س ، ص ) من نقاط المنحني ص = د(س) وكان ميل المماس للمنحني عند النقطة ( 1 ، 1 ) = ـــ 3 فأوجد معادلة المنحني
   2)
   3( 2 س ــ 1 )
   2 س إذا كان ميل المماس للمنحني عن أي نقطة علية = ( 3 س ـــ 6 ) ( س + 2 ) فأوجد معادلة المنحني المار بالنقطة ( 1، ــ 4 ) ثم عين النقاط العظمي والصغري المحلية لة
   3)
   د ص
   د سإذا كان ميل المماس للمنحني عن أي نقطة علية = ـــــــــــــــــــــ فأوجد معادلة المنحني المار بالنقطة ( 1، ــ 4 )
   4)
   د2 ص
   د س2أوجــــد معادله المنحني ص = د ( س ) إذا كان ــــــــ = س + 8 علماً بأن المنحني يمر بالنقطة ( 1 ، 12 )
   5) إذا كانت ـــــــ = أ س + ب حيث أن أ، ب ثابتان كان للمنحني قيمة صغري محلية عند النقطة ( 1 ، 0 ) و نقطة انقلاب عند النقطة ( 0 ، 2 ) فأوجد معادلة المنحني
   6)
   2 س + 7
   3 ــــ 2 ص إذا كان ميل المماس للمنحني ص = د( س ) عند أي نقطة علية ( س ، ص ) تقع علية = ــــــــــــــــ أوجد معادلة المنحني علماً بأن المنحني يمر بالنقطة ( 1 ، 3 )
   7) إذا كان ميل المماس للمنحني ص = د( س ) عند أي نقــــــطة علية ( س ، ص ) تقع علية = 3 س2 + 4 س + 1 أوجد معادلة المنحني علماً بأن المنحني يمر بالنقطة ( 1 ، 3 )
   
   خامساً :ـ تطبيقات علي المشتقات
   1) إذا كـــان المستقيم ص = 13 س ــ 7 يمس المنحني ص = أ س 3 + ب س2 عند النقطة ( 1 ، 6 ) فأوجد قيمتي أ ، ب
   2) أوجد معادلتي المماس والعمودي المنحني س2ـــ3س ص+ ص2+1 عند النقطة ( 1،1 )
   3)
   د2 ع
   د ص2أوجد معادلتي المماس والعمودي المنحني ص= جا س ـــ جتا س عند النقطة ( 0 ، ـــ1 )
   4)
   د2 ع
   د ص2 إذا كانت 3 ص = س3 + 9 س ، ع = س 2 + س فأوجد ـــــــــ عندما س = 1
   5) إذا كان ص = س3 + 2 ، ع = س2 + 3 فأوجد ــــــــــ عندما س = 2
   
   س
   ص
   ص
   سسادساً : ـ أثبت أن
   1)
   د ص
   د س
   ص
   س إذا كانت ـــــــ + ــــــــ = 8 فأثبت أن
   ــــــــــ = ــــــــــ
   2)
   د ص
   د س
   د3 ص
   د س3 إذا كانت ص = س جتا س فأثبت أن
   س × ـــــــــ + س × ــــــــــ + 2 ص = صفر
   3)
   د ص
   د س
   د2 ص
   د س2إذا كانت 5 س2 = 2 س ص + 3
   فأثبت أن س× ــــــــــ + 2× ــــــــ = 5
   4)
   د2 ص
   د س2
   د ص
   د سإذا كان ص = جا 2 س فأثبت أن
   4 ( ـــــــ )2 + ( ــــــــــ)2 = 16
   5)
   د2 ص
   د س2 إذا كان س2 ـــ ص2 =1 فأثبت أن
   ص3 × ـــــــــ + 1 = صفر
   6)
   د2 ص
   د س2إذا كان ص = جا 2 س أثبت أن
   ـــــــــ + 4 ص = 4 جتا 2 س
   6)
   د2 ص
   د س2إذا كان 3 س + ص 3 = 9 فأثبت أن
   ص5 ( ــــــــ )2 + 2 = صفر
   
   سابعاً ً:ـ تطبيقات مرتبطة بالزمن
   1) قطعة من المعدن علي شكل متوازي مستطيلات طــــول ضلع القاعدة يزيد عن عرضـــــها بمقدار 2 وارتفاعها يساوي ثلاثة امثال عرضـــــها في معينة كان معدل زيـــــادة الحجم = 0.6سم3/ دقيقة عندما كان معدل زيادة العرض = 0.01 سم/دقيقة أوجد ابعاد المعدن
   2) يزداد معدل مساحة سطح كرة بمقدار 6 سم2/ ث عند اللحظة التي يكون فيها نصف القطر = 30 سم أوجد عند هذة اللحظة معدل زيادة نصف القطر
   3) مثلث متساوي الاضلاع يزداد طول ضلعة بمقدار 0.2 سم/دقيقة أوجد معدل تغيير مساحة المثلث في اللحظة التي يكون ضلع المثلث يساوي 8 3
   4) يستند سلم طولة 5م باحد طرفية علي الارض والاحر علي حائط رأسي غأذا انزلق الطرف السفلي للســـلم مبتعداً عن الحائط بمعدل 8 سم / دقيقة عندما يكون علي بعد 3 م من الحائط أوجد عند ئذ معدل أنحفاض الطرف العلوي
   5) بالون كروي يزداد حجمها بمعدل 4 سم3/ ث أوجد معدل الزيادة في طول نصف القطر عندما يكون نصف القطر مساوياً 10 سم و أيضاً أوجد معدل تغيير المساحة في نفس اللحظة
   6) شخص طولة 180 سم يتحرك ليلاً مبتعداً عن مصباح أرتفاعة 9 م بسرعة 40 سم2/ث أحسب معدل أستطالة ظلة علي الأرض ثم أحسب سرعة تحرك ظل رأس الرجل علي الارض أحسب أيضاً معدل أبتعاد راس الرجل عن المصباح عندما يكون علي بعد 960 سم من القاعدة
   ثامناً :ـ تطبيقات مرتبطة بالقيم العظمي و الصغري
   1) عددين مجموع أحدهما وضعف الاخر = 100 أوجد العددين عندما يكون حاصل ضربهم أكبر ما يمكن
   2) علبة علي شكل متوازي مستطيلات قاعدتة مربعة الشكل و مجموع أرتفاعها و محيط القاعدة = 60 سم أوجد ابعاد العلبة عندما يكون الحجم أكبر ما يمكن
   3) يراد عمل خزان أسطواني بدون غطاء باستخدام 75 ط م2 من الصاج أوجد أبعاد الخزان بحيث يصبح حجمة أكبر ما يمكن
   4) سلك طولة 40 سم ثني علي شكل مستطيل أوجد أبعاد المستطيل حتي يكون مساختة أكبر ما يمكن
   5) سلك قسم الي جزأين علي هيئة دائرة وكان مجموع نصفي قطرهما = 28 سم أوجد طول السلك ليكون مجموع مساحتي الدائرتين أقل ما يمكن
   6) أوجد نقطة علي المنحني ص2 ـــ 2 ص + 2 س = 5 بحيث تكون المسافة بينها وبين النقطة ( 2 ، 1 ) أقل ما يمكن
   أخيراً
   التوفيق من عند الله وحده
   دعـــــــــــاء
   اللهم أنني استودعـك ما قرأت وما حفظت أمانة ووديعة عندك و أسألك آن تردها آلي عند حاجتي أليها

تمارين تفاضل مراجعة ثالثة ثانوي رياضيات 2

منهج كامل

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته إلى كل محبي الرياضيات

وفقنا الله وإياكم لما فيه الخير
أدعو الله سبحانه وتعالى أن يجعل عملي هذا خالصاً لوجه تعالى

إلى محبي الرياضيات ( معلماً / طالباً )
إن لم تستطع أن تصنع شيئاً فعلى الأقل علمه
وأنا هنا أحاول أن أعلمه
أما أنت فأرجو أن تصنعه
حتى تتقدم بلادنا

والله ولي التوفيق
أمين سكر